Estudiala derivabilidad de las siguientes funciones, definiendo su derivada, cuando sea posible: (a) 푓(푥)= Ejercicios de límites de funciones, continuidad y teorema de Bolzano; Determinantes; T1 01 Matrices Teoría; Autorizacion 18; Estudiala continuidad de las dos funciones siguientes: Solución: a) f(x) es continua en todos los reales; b) f(x) es continua en ℜ– {0}. 3. Estudia la continuidad y representa gráficamente la función f(x): Solución: Es continua en todo su dominio. 4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represéntalas gráfica-mente: Estudiamosen paralelo las tres funciones, pues de esta forma se anv presentando todas las situaciones explicadas en el resumen teórico. 1.1. Continuidad salvo en el origen El conjunto f(0;0)g, El estudio de la continuidad del campo escalar f está ya concluido: es continuo en todo punto de R2 nf(0;0)gy no tiene límite, Definiciónde continuidad. La función es continua en el punto p si, y solo si, se cumplen las tres condiciones siguientes: 2. Si te acercas al punto p por la izquierda o la derecha, ambos valores son iguales: 3. Los límites por ambos lados, lim x → p − f ( x) y lim x → p + f ( x), y f ( p) son todos iguales. UNIDAD1: FUNCIONES REALES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Ejercicio 1: Calcula el dominio de las siguientes funciones: a: f(x) 9 4x 2 b: 9 2 ( ) x x g x c: 2 5 6 1 3 2 x x x x h d: 1 1 1 x x x y e: 5 Ejercicio 5: Estudia la simetría de las siguientes funciones: a: f ( ) 9 4x 2 b: g(x) x 2 c: x h x 4 ( ) d: 2 1 3 x x y e: f ( )x ·ex2 f: f (x) x Continuidadde funciones en un punto y en un intervalo 1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones y dibuja su gráfica. a) 1 1 exx fx xx ­ ® ¯ t; b) 1 si 1 2 1 si 1 xx gx xx ­ ® ¯ t 2. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones y clasificar sus discontinuidades, caso de que las haya. a) x 2 2 2 x x fx x x ­ ° z 17 Dada la función, − ( x 2 + y 2 f ( x , y ) = ) - Calcular la derivada direccional de f(x,y) en el punto (1,0) según la dirección del vector (1,1). - Deteminar las direcciones de máximo y mínimo crecimiento de f(x,y) en el punto (1,0), así como el valor de las derivadas direccionales en dichas direcciones. Tenen cuenta que, en todos los demás puntos, dado que es un cociente de funciones continuas (funciones polinomiales), la función sigue siendo continua. Dominio y continuidad En resumen, debes saber que todas las funciones clásicas, es decir, las polinómicas, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas son continuas en sus Siuna función es derivable en un punto , entonces es continua en .. El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables. Ejemplo: Estudiar la continuidad y derivabilidad de 1 En primer lugar estudiamos la continuidad en .Para esto verificamos si la función está definida en Unafunción es continua en un intervalo cerrado si: 1 es continua en , para todo perteneciente al intervalo abierto . 2 es continua en por la derecha: 3 es continua en por la izquierda: Una propiedad importante que se deriva del hecho que es continua en es la siguiente. Si es continua en un intervalo cerrado , entonces está acotada en dicho wDVFV.